Números Naturales 1ºESO

Tema 1.NUMEROS NATURALES.

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el hombre por contar.

El conjunto de números naturales es ilimitado, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad al anterior. Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta.

El cardinal de un conjunto es el número natural que resulta de contar sus elementos. Los números naturales se llaman cardinales cuando se emplean para contar los elementos de un conjunto

Los números naturales se llaman ordinales cuando se emplean para ordenar los elementos de un conjunto

1. Orden.

a es menor que b si está situado más a la izquierda en la recta.

a<b

c es mayor que b si está situado más a la derecha en la recta.

c>b

Actividades:

1. Ordena de menor a mayor:

104, 97, 87, 218, 198, 201

2. Completa, escribiendo según corresponda, <o>:

a)5 14 b)42 49

c)4 7 d)12 15

e) 9 3 f)11 6

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Un sistema de numeración es un conjunto de signos y reglas para escribir y leer números.

Los sistemas de numeración que utilizamos son sistemas posicionales, pues una misma cifra vale diferente según la posición que ocupe en el número. Por ejemplo, en el número 515, los dos 5 tienen diferente valor.

2.1. Sistema de numeración romano.

Los símbolos utilizados en este sistema y sus equivalencias son:

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Es un sistema aditivo, porque para hallar lo que vale un número, se va sumando el valor que representa cada uno de sus símbolos. No hay ningún símbolo que represente el cero.

¿Qué número representa la siguiente expresión?

MDCLXVI=1000+500+100+50+10+5+1=1666

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

• El símbolo I puede escribirse a la izquierda de V o X. En este caso se le resta su valor: IV=4 IX=9
• El símbolo X puede escribirse ala izquierda de L o C y, como antes, se le resta su valor: XL=40 XC=90
• Igualmente, el símbolo C puede ir a la izquierda de D o M, restando su valor: CD=400 CM=900
• Además, ningún símbolo puede escribirse cuatro o más veces seguidas.

Ejemplo:

¿Qué número representa cada una de las siguientes expresiones?

MMDXLVII=1000+1000+500+40+5+1+1=2547

MCMLIX=1000+900+50+9=1959

CMLXXIV=900+50+10+10+4=974

Actividades:

1. Calcula;

a) MMMCDXXIV c) CMLXXIV

b) MDXCVII d) CMXCIX

2. Expresa en números romanos el año actual.

3. Expresa estas cifras en números romanos:

a)3725 b)4903 c)849

4. Expresa en números romanos el año de tu nacimiento.

2.2. Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal:

• Utiliza diez cifras o dígitos: 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Es decimal o de base 10, ya que 10 unidades de un determinado orden forman una unidad de orden inmediatamente superior.

1 Unidad

1 decena =10 unidades

1centena = 100 unidades

1millar=1000 unidades

1 decena de millar =10000 unidades

1 centena de millar=100000 unidades

1millón=1000000 unidades

• Es posicional

Actividades:

1. Un número esta formado por 4 unidades, 7centenas y 9 decenas de millar. Escríbelo.
2. Escribe en tu cuaderno con palabras estos números:

a) 43152 b)345002 c)101002003 d)1111111111

2. OPERACIONES ELEMENTALES.

2.1. Sumas, restas y multiplicaciones.

Regla de prioridad

En una expresión combinada, las multiplicaciones y las divisiones se efectúan antes que las sumas y las restas.

Propiedades de la suma

Conmutativa	Asociativa	Elemento neutro
Eva tiene 7 monedas en un bolsillo y 4 en el otro. En total tiene 11 monedas, que resultan de sumar 4 con 7, o 7 con 4. 4+7=7+4=11	Juan tiene 3 monedas en un bolsillo, 4 en otro y 5 en un tercero. En total tiene 12 monedas. Este cálculo puede hacerse de dos formas: 3+(4+5)=3+9=12 (3+4)+5=7+5=12	Paco tiene 8 canicas en un bolsillo y ninguna en el otro. Por consiguiente, lleva 8 canicas en total: 8+0=0+8=8
Cambiar el orden de los sumandos no altera el resultado	Asociar los sumandos de formas distintas no altera el resultado	El sumando 0 no altera el valor de una suma. El elemento neutro de la suma es el 0.

Actividades:

1. Copia en tu cuaderno y completa los datos que faltan:

a	b	C	a.c	a.c+b	a.c-b
3	7	5
4	6		40
	8	16	16	24

2. Completa las igualdades y di qué propiedad se aplica en cada una:

a)5+6=__+5=__ b)(7+__)+9=__+(3+__)=19

Propiedades de la multiplicación

Conmutativa	Asociativa	Elemento neutro
En una parcela hay 6 hileras de 5 árboles. ¿Cuántos árboles hay en total? 6.5=5.6=30	En 3 parcelas iguales hay 6 hileras de 5 árboles. ¿Cuántos árboles hay en total? 3.(6.5)=(3.6).5=90	En una parcela hay 1 hilera de 5 árboles .¿Cuántos árboles hay en total? 5.1=1.5=5
Cambiar el orden de los factores no altera el resultado	Asociar los factores de formas diferentes no altera el producto	El factor 1 no altera el producto de una multiplicación. El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

Propiedad distributiva.

Propiedad distributiva

El producto de un número por una suma o una resta es igual, respectivamente, a la suma o la resta de los productos de dicho número por cada uno de sus componentes

Ejemplos: 6.5 + 6.4=6. (5+4)=6.9=54

En la igualdad 6. (5+4)=6.5+6.4, estás aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

6.5- 6.2=6. (5-2)=6.3=18

En la igualdad 6. (5-2)=6.5-6.2, estás aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta.

Actividades:

1. Completa las igualdades y di qué propiedad se aplica

a) 4.5=__.4=__ b) (3.__).10=__. (5.__)=150

c) 2. (__+10)=__.5+2.__=30 d)__.5+__.7=2.(__+__)=24

2. Calcula, sacando factor común, el valor de esta expresión.

Resuelto: 5.6-5.2-5.4=5.(6-2-4)=5.0=0

8.10-8.5+8.2-8.3=

2.2. Operaciones con paréntesis

Reglas de prioridad

• Los paréntesis se calculan en primer lugar.
• Las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las suma y las restas.

Ejemplo:

24-3.(5+2)=24-3.7=24-21=3

Expresiones con dos o más paréntesis.

Los paréntesis están separados Se calculan por separado

(25-20)+3. (3+15) = 5+3.18=5+54

Unos paréntesis están dentro de otros Se calculando dentro hacia fuera

30-2.(26-(15-3)) = 30-2.(26-12) = 30-2.14=30-28

Actividades:

1. Calcula las expresiones:

a) 450+3. (25-(8-5)= b)(450+3). (25-(8-5))=

2. Halla el valor de la siguiente expresión: 30. (25+2. (25-2.12))=

2.3. División de números naturales:

Propiedades	División exacta No tiene resto	División entera Tiene resto
Propiedad fundamental	El producto del divisor por el cociente es igual al dividendo: d.c=D	El producto del divisor por el cociente más el resto es igual al dividendo: d.c+r=D
Otras propiedades	Si el dividendo y el divisor de una división exacta son multiplicados o divididos, por un mismo número, el cociente no varía. 6:3=2 (6.5): (3.5)=2 60:30=2 (60:5): (30:5)=2	Si el dividendo y el divisor de una división entera son multiplicados o divididos, por un mismo número, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Actividades:

1. Completa estas igualdades:

a) 24:__=3 b) __:4=8 c) 54:9=___

2. Comprueba multiplicando si son correctas estas divisiones:

a) 504:72=7 b)1200:250=5 c)115368:253=456

3. Un profesor agrupa de tres en tres a sus 28 alumnos ¿Cuántos grupos salen? ¿Sobra alguno?

4. Pilar reparte, a partes iguales 240 € entre 6 ONG. ¿Cuánto dinero da a cada una? ¿A cuanto tocarían si fueran 12 ONG? ¿Y si fueran 2?

3. Aproximaciones y errores

Cuando trabajamos con números muy grandes, resulta muy difícil recordar todas las cifras por lo que tendemos a “redondear”.